בשנות השישים התפשטה שמועה על מורה באחת מארצות אירופה ששמו גטניו, המצליח להגיע להישגים מדהימים במתמטיקה באמצעות מוטות צבועים - הנקראים 'בדידי קוויזנר'. משרד החינוך שלח אליו משלחת של מורים ואנשי אקדמיה. כולם התפעלו מההישגים, אך לא ידעו להסביר את סוד ההצלחה.
מיד הוצפה הארץ בקורסים למורים שלמדו את השיטה. באותה תקופה לא קיבלו המשתלמים גמולים עבור ההשתלמויות ואף-על-פי-כן הקורסים היו עמוסי משתלמים. בתי-הספר עטו על התכנית. ההתפעלות מההישגים שטפה את המחנכים. מספר שנים נמשכה החגיגה עד שהגיעו ראשוני התלמידים לכיתות יותר גבוהות, שבהן טרם גובשה התכנית לפי גטניו, ולמדו בהן מתמטיקה 'רגילה'. התדהמה היתה גדולה. התלמידים 'שכחו' את כל תלמודם. הם לא הבינו על מה דיברו איתם במתמטיקה. גם המורים וגם התלמידיםחשו שמשהו קרה.
בעקבות זאת, משרד החינוך והרשויות המקומיות הסדירו קורסי קיץ לכל התלמידים. במשך שלושה שבועות בקיץ למדו הילדים ארבע שעות ביום את "המתמטיקה הקודמת". רק אז ניתן היה להמשיך ללמד את החומר הרגיל.
גם אני לא הבנתי את ההצלחה ואף לא את ה'שיכחה' המוזרה של כלל האוכלוסייה. היום אני מבינה היטב את מה שאירע, הן מנקודת המבט של הפסיכולוגיה של הלמידה והן מהבחינה הלוגית-מתמטית. במאמר אצביע על מה שאירע ועל הקשר בינו לבין מהשקורה היום בארץ.
המציאות מיוצגת במוחנו באמצעות סמלים, מילים, תמונות ואופנויות נוספות אחרות. כאשר אנחנו לומדים מושג כלשהו, למשל: עיפרון, אנחנו עושים זאת על-ידי מפגשים רבים עם עפרונות מסוגים שונים ועם השם 'עיפרון' עד שהמושג עובר תהליך של הכללה ומתחבר אל המונח - כלומר אל המילה המייצגת את התופעה הנקראת 'עיפרון'. כאשר ילד מקבל לידיו עיפרון חום בעל אורך מסוים ואימו אומרת לו: "הנה עיפרון" ולאחר זמן מה היא מושיטה לו עיפרון צהוב קצר ממנו ואומרת: "צייר בעיפרון הזה" וחוזר חלילה, הילד מצמיד לתופעה: עיפרון (המושג) את המילה: 'עיפרון' (המונח). אם לאחר זמן יימצא על השולחן עיפרון אדום קטן מקודמיו והילד יתבקש לתת לאימו עיפרון, הוא יושיט לה את העיפרון האדום הקטן למרות היותו שונה בגודלו ובצבעו משני קודמיו. המהות של העיפרון אינה קשורה לצבעו ולגודלו. המונח 'עיפרון' מתייחס למהות הזאת ולא לתכונה מקרית של עיפרון מסוים. מונח זה מייצג עתה במוחו של הילד כל סוג של עצם המתפקד כעיפרון. אם לבקשתה של האם הוא ייענה על-ידי הושטה של עט - פירושו של דבר שלא נעשה הקשר הנאות בין המושג למונח - יש "פגם" בייצוג הפנימי של המושג, או שעדיין לא חלה דיפרנציאציה בין עט ועיפרון.
ייצוג פנימי מוטעה של מושג ימוטט בתנאים מסוימים של חשיבה או עשייה שמתבססת עליו, אך הוא יכול גם להיות מוסווה על-ידי השימוש המילולי במילה הנכונה, למרות ההתכוונות אל מושג אחר, במיוחד אם יש קירבה בין הדברים, כמו במקרה של העט והעיפרון. נתבונן בדוגמה נוספת: אצל עיוור צבעים הצבע 'אדום' מיוצג אחרת מייצוגו של צבע זה אצל מי שמבחין בצבעים.
הוא אמנם ישתמש במילה 'אדום', אבל יתכוון למשהו אחר מהמקובל. אצלו התופעה 'אדום' נתפסת כגוון של אפור (תלוי בסוג העיוורון). הוא יודע שכולם קוראים לגוון הזה: 'אדום' וכך יעשה אף הוא. השימוש הנכון במונח, למרות הייצוג הלא-נכון שלו בתפיסתו של עיוור הצבעים, מסווה את הייצוג הפנימי ומקשה על ההבחנה בייצוג הפנימי המוטעה. רק בסיטואציות מיוחדות ניתן יהיה להבחין בטעות. למשל, אם נבקש מעיוור צבעים לצאת לשדה ולקטוף רק עגבניות אדומות, ואם עיוורונו מתבטא באי הבחנה בין ירוק לאדום, יש סיכוי שהוא יקטוף עגבניות ירוקות ועיוורון הצבעים ייחשף. די בעובדה שהגוון של העגבניות יהא בעיניו כגוון של ה'ירוק', כפי שהוא רואה אותו, כדי שהטעות תתרחש.
בדוגמת העיפרון - הטעות תתגלה רק כאשר הילד יתבקש להביא עיפרון ובמקומו יביא עט. מאחר שהעיפרון והעט שניהם כלי כתיבה יכולות להיווצר הרבה סיטואציות בהן לא נוכל לחוש בכשל שנוצר בתהליך של הייצוג הפנימי אצל הילד.
מה שנכון לגבי העיפרון ולגבי הצבע, שהם מוחשיים, בוודאי נכון במושגים מופשטים, בהם קשה עוד יותר לבחון אם הייצוג הפנימי נכון. כמו שעיוור הצבעים יכול לחיות בקרבנו שנים רבות מבלי שנחוש בבעייתו והוא כאילו מתפקד נכון בתחומי הצבע, הרי שבמושגיםמופשטים אדם יכול להשתמש במילים מבלי שקישורן למושג הנכון יהיה תקין. אם הוא משתמש במילים במשמעות המקורבת למובנן המדויק, לא נחוש בטעותו. זו תתגלה רק במקרה שיש צורך בהבחנה דקה יותר של המשמעות. רק בנייה מדויקת של מושגים תמנע מראש טעויות עתידיות .
הוא הדין ביחס למספרים הטבעיים המהווים את הבסיס של החשיבה המתמטית והמדעית. הקניה מדוקדקת של משמעותם היא תנאי הכרחי לבנייה של חשיבה מתמטית ומדעית המתבססת על מנגנון תקין של בניית ייצוגים פנימיים נכונים.
תהליך הלמידה מההיבט המתמטי
מהו המספר הטבעי?
למספר הטבעי שלוש משמעויות:
● כמות.
● סדר.
יש לזכור שהמספר מייצג בראש ובראשונה כמות ושתי התכונות האחרות של המספר הן תוצאה של תכונת הכמות. עובדה זו נכונה היסטורית, מתמטית, פסיכולוגית ולוגית והבחינה הדידקטית נגזרת מתוך כל הנ"ל (2).
העובדה שהמספרים הטבעיים מסודרים נובעת מהיותם מונים כמויות. לדוגמה, 9 בא אחרי 8, כי זה סדר המנייה של כמות העצמים.
תכונת היחס אף היא פועל יוצא מתכונת הכמות. למשל, אם נאמר שיש לי שישה עפרונות, הרי משמעות הדבר היא שבידי שש פעמים היחידה שהיא העיפרון.
כאשר מלמדים את המספרים הטבעיים צריך לזכור:
● כמות וצבע אינם אותו דבר.
● כמות וגודל אינם אותו דבר.
הקניית המספר הטבעי באמצעות גודל וצבע, כמוה כיצירת אדם 'עיוור מספרים'. כמו שעיוור הצבעים יוכל לתפקד עד לרמה מסוימת מבלי שנחוש בתקלה, אבל בשלב מסוים היא עלולה להיחשף על-ידי כישלון בביצוע, כך גם הילד שלומד/חושב שגודל, כמות וצבע הם אותו הדבר עצמו יוכל "לפעול" על-פי חשיבה זו עד שלב מסוים, אבל כישלונו ייחשף בשלב מתקדם יותר של המתמטיקה והמדעים.
כמות וצבע אינם אותו דבר
מיותר לציין שהקשר בין כמות לצבע מופרך מיסודו. הצמדת צבע לכמות על-ידי צביעת כל בדיד בצבע המייחד אותו, אין לה הצדקה לא מצד ההיגיון ולא מצד הדידקטיקה, שכן הקניית טעות לוגית אין לה צידוק מכל צד שהוא. כך יוצרים פגיעה בייצוג הפנימי של המספר.אם הכוונה לעזור לחלשים או לתלמידים בעלי היכולת הממוצעת, המקרים שיתוארו להלן יוכיחו את ההיפך.
באשר לתלמידים המוכשרים למתמטיקה, אלה מתעלמים מהצבע ומההצמדה לגודל. הם חייבים לעבור תהליך של 'שיחרור מהייצוגים הפנימיים הפגומים' שניכפו עליהם, על מנת שיוכלו לממש את הפוטנציאל המתמטי שלהם.
תלמידים שלא יעברו את התהליך הזה לא יגיעו לרמות גבוהות יותר של המתמטיקה, אפילו אם יש להם באופן טבעי יכולת להגיע להישגים נאים במקצוע.
מדוע כמות וגודל אינם אותו דבר?
כדי שנבין את משמעות המספר עלינו להבחין בין כמות בדידה (דיסקרטית) לכמות רציפה.
לכמות רציפה, כמו בסרגל או בבדידים, יש שתי תכונות נבדלות זו מזו. ישנה התכונה של הכמות: בידי שלושה סרגלים - כמות הסרגלים היא שלושה. ישנה התכונה של הגודל: הסרגל שבידי גדול מזה שבידך. הצמדת מספר לבדיד יש בה, אם כן, הטעיה. הבדיד הוא אחד בין אם הוא גדול ובין אם הוא קטן. בהיותו גודל רציף, מראש אין הוא בנוי לייצג כמות.
ב'מבוא לתורת ההגיון' מבחין הוגו ברגמן (3) בין המהות של הדברים, שזו תכונה הטבועה בדבר, לבין חוקיות שהיא מחוץ לדברים, אף-על-פי שהיא משויכת להם. יש להבחין, אם כך, בין גודל - שהוא ממהותו הטבעית של העצם, לבין כמות, שהיא חוק חיצוני לדבר - המושלך על הדברים בכוח ההיגיון. לכן, כמותם של שלושה גורדי שחקים זהה לחלוטין לכמות של שלושה בני-אדם. וכמותם של ארבעה אנשים אינה תלויה בגובהם ו/או
במשקלם. לכמות אין קשר למהות. משמע, הפיכת הדבר עצמו - הבדיד - לכמות אינה עומדת במבחן ההיגיון.
גם סדר הוא חוקיות שמחוץ לדבר. הסדר אינו מתקשר בהכרח לכמות. רק סוג מסוים של סדר מתקשר לכמות - זה שמנייתו ערוכה בטור והוא פועל יוצא מהאופי הכמותי של הדברים הנימנים: ראשון, שני, שלישי וכו'. לכן,
לכמות יש קדימות לוגית גם על פני הסדר (4).
התהליך המנטלי המתלווה להבנה של גודל וכמות
מבחינה פסיכולוגית יש להבחין בין שתי אופרציות מנטליות (פעילויות חשיבה) שונות, אך תלויות זו בזו:
הבנת יחסים ו
השלכת יחסים. הבנת האספקט הכמותי של המספר היא בבחינת
הבנת יחסי כמות, למשל: 7 הוא יותר מ-4.
מדידה של גודל היא בבחינת השלכת יחסי כמות: הסרגל הזה מכיל 20 ס"מ. עלי להבין קודם כל את המושג 20 מהבחינה הדיסקרטית (הבדידה) שלו. רק אחר-כך תהיה משמעות כלשהי למספר הסנטימטרים שיש בתוך אותו סרגל. משמע, שהבנת גודלו שלהסרגל תלויה בהבנת הכמות.
המסקנה המתבקשת מכל האמור היא, שיש ללמד אך ורק את המספר ככמות בעת ההקניה של המושג. רק לאחר שהמושג הופנם כראוי והתלמידים הגיעו להבנה של היחסים האפשריים בכמויות ולאוטומטיזציה בתחום זה, אפשר לעבור להיבטים האחרים שלהמספר. בסוף התהליך יבוא הטיפול במדידת גדלים, שהוא הקשה מכל, כי תהליך של השלכת יחסים קשה מעצם טבעו. קודם עלינו להבין את הכמות הבדידה ואחר-כך להשליך את ידיעתנו זו על גודל רציף וכמו לחלק אותו לכמויות בדידות.
דוגמה נוספת: לא נבין את משמעות הכיתוב על בקבוקי משקה המודיע שתכולת הבקבוק היא 500 מ"ל, ללא הבנה של הכמות הבדידה: 500 ושל היחידה מ"ל.
הנזקים בהצגת הבדידים כמרכיב מרכזי ללימוד המספר כמייצג כמות
מאחר שהמספר מייצג כמות ומאחר שהכמות אינה תלויה בדבר הנימנה, אלא רק בחוקיות המוטלת עליו מבחוץ, חייבים להשתמש בהדגמות לכמויות באמצעים שונים ומגוונים, כמו פרחים, סוכריות, ילדים, נעליים, כסאות ועוד.
אסור בתכלית האיסור להיצמד להמחשה מסוג אחד. אפילו אם נשתמש באמצעי המחשה נוספים, הרי מרכזיותם של הבדידים בהצגת החוקיות המתמטית פוגעת קשה בהבנה המתמטית. עניין זה נוגד לא רק את ההיגיון, אלא גם את כל תורות הלמידה המתקדמות. כמו זו של פיאז'ה או ויגוצקי (5). אם חפצים אנו לבנות אצל הילד תהליכים
של שימור חוקיות (6) על אף שינויים שחלים בתופעות, הרי המתמטיקה הנלמדת נכון היא מכשיר מרכזי בתהליך.
פיתוח וביסוס תהליכים של שימור קביעויות יתרמו לחשיבתו של הילד הרבה מעבר למתמטיקה. שימוש מסיבי באמצעי המחשה אחד יפגע בכל תהליכי השימור הקשורים למתמטיקה, כי הייצוג הפנימי שנוצר אצל הילד יהיה צמוד לגודל ולבדידים והוא יתקשה להכלילאת המושג. ממש כמו שאי אפשר להקנות את המושג 'עיפרון' על-ידי הצגה חוזרת ונשנית רק של עיפרון צהוב בעל אורך מסוים מבלי להפגיש את הילד עם עפרונות שצבעם וגודלם שונים.
ילד שלמד את מושג העיפרון רק בעזרת ההצגה של עיפרון מסוג מסוים, לא יזהה משהו כעיפרון כאשר הוא יתקל בעיפרון אדום השונה בגודלו ו/או בצבעו מזה שהכיר.
מספר מקרים לתיאור נזקי הבדידים
מקרה א': בכיתה א', בסוף שנת הלימודים, ילדה התבקשה לבצע את התרגיל: 3+2 באמצעות בדידים. היא פעלה נכון, לשביעות רצונה של המורה.
ביקשתי ממנה להסביר לי את התרגיל באמצעות חמישה בַּלוטים, שהיו בכיתה. זו היתה תשובתה:
היא ניסתה "לכתוב" את הספרות, באמצעות הבלוטים, במקום להבין את המשמעות הכמותית. כשראתה שהבלוטים אינם מספיקים ליצירת הספרות, אמרה: "אי אפשר לעשות את התרגיל עם בלוטים".
בסוף כיתה א' היא לא הבינה את מושג המספר כמייצג כמות והחליפה את הסמל במשמעות. כאילו החליפה את דגל המדינה (הסמל) במשמעות המדינה עצמה (המסומל).
חשיבותה של המתמטיקה נובעת מהקומפטביליות (-התוֹאמוּת) שבין המספרים לבין התופעות. אי הבנה של המספר כמייצג כמות תחסום בפני התלמידה את הדרך להבנה מתמטית כלשהי בעתיד. הבדידים חרצו את גורלה האקדמי.
מקרה ב': הצגתי לילדה שסיימה את כיתה א' שלושה עפרונות בגדלים שונים. שאלתי: "כמה עפרונות יש לי כאן?"
- אחד גדול, אחד קטן ואחד בינוני.
- תחשבי היטב.
- אה! אני מבינה. אחד ועוד חצי ועוד רבע.
הילדה לא יכלה לומר פשוט שיש על השולחן שלושה עפרונות.
היא היתה תלמידה מצטיינת בכיתה א'. אף-על-פי-כן (ואולי דווקא בשל כך) לא ידעה להבחין בין כמות לגודל. היא היתה "שבויה" בגודל ולא היתה מסוגלת להתייחס לשאלה פשוטה על כמות, כמה עפרונות?
מקרה ג': סיפרה לי מורה המטפלת בלקויי למידה שתלמידה שלה בכיתה ב' התקשתה בהבנת מושג המספר.
כאשר המורה לימדה אותה, הילדה אמרה: "יה, אצלנו בכיתה 5 הוא רק צהוב ואצלך את מרשה ש-5 יהיה גם 5 חרוזים וגם 5 דיסקיות וגם 5 ביסלי".
הילדה התפעלה מההפרדה של המספר מהצבע. בשבילה זה היה חידוש מרענן.
מקרה ד': בסוף כיתה ב'. המורה יושבת עם שבעה ילדים ומלמדת אותם את משמעות המספר הדו-סיפרתי. היא מציגה את המספר 21 ושואלת מהי סיפרת האָחדוֹת ומהי סיפרת העשרות. כל ילדי הקבוצה עונים נכון.
אחר-כך המורה שואלת כמה אָחדוֹת בכל המספר. הילדים מתקשים. המורה רוצה להציג לפניהם את הפיתרון על-ידי בדיד העשר ובדידי האחד. עד שהיא טורחת באיסוף הבדידים אני מביאה ערימה של אבני חצץ ושואלת כל ילד בתורו: "יש כאן עשרת?"
הילדים טוענים שאין.
אני מבקשת שיחשבו שנית.
ילדה אומרת שיש עשרת. אני מבקשת שתסביר ליתר חברי הקבוצה. היא לוקחת את בדיד 10, מניחה לפניה, לוקחת אבני חצץ ומונה עשר מהן. בזמן שהיא נוטלת את האבנים אני מבחינה שהיא בוחרת רק את אלו שהן בגודל בדיד ה-1. היא מניחה את האבנים לידהבדיד 10. לאבנים יש בליטות ורק שמונה אבנים מסתדרות ליד הבדיד הכתום (בדיד 10). הילדה אוספת את האבנים ומחזירה לערימה הגדולה שהבאתי ואומרת: "לא, אין עשרת".
זו ילדה מחינוך רגיל ברמה בינונית. הבלבול בין גודל וכמות חסם את הדרך לכל ילדי הקבוצה להבנת מושג הכמות. מובן מאליו שהם לא יידעו אי-פעם לגשת לבעיה מתמטית, אלא אם כן יעברו טיפול משקם, למרות היותם ילדים רגילים. הילדה הזאת זיהתה זיהוימוחלט בין גודל וכמות. הבדיד הכתום ייצג לה עשרת. בשבילה המושג 'עשרת' הוא גודל מסוים והמושג 'אחד' הוא גודל של בדיד האחד (הלבן).
הילדה כמו יתר חבריה עשתה התאמה חד-ערכית בין הבדידים לבין הכמויות שהם אמורים לייצג בהסתמכה על מה שנלמד בכיתה (7).
מדוע הכישלון לא תמיד מתגלה בתחילת התהליך?
במיבדק הארצי, שנערך בשנת תשנ"ט, ציוני תלמידי כיתות ד' היו משביעי רצון באופן יחסי. הכישלון הגדול היה בטכניקה אלגבראית בכיתות ח'. זו דרכו של ייצוג פנימי מוטעה. הוא מתגלה לא בשלב בו אנו שואלים שאלה ישירה על החומר. הרי התלמידים שתוארו במקרה ד' יכלו לענות נכון בעזרת בדידי ה-1 הלבנים.
בדומה לעיוור הצבעים, אם נצביע לו על מישטח אדום ונשאל אותו איזה צבע הוא רואה, הוא יענה נכון: זה אדום, כי למד שאנו קוראים לגוון הזה 'אדום'. אבל אם נשלח אותו לשדה עגבניות, שבו עליו להבחין בין העלים הירוקים, העגבניות הירוקות והעגבניות האדומות - שם יתגלו ייצוגיו הפנימיים המוטעים (8). זה מה שקרה לתלמידי כיתות ח'. הם נכנסו לשדה המתמטיקה ועולמם המתמטי התמוטט.
היום אני מבינה מה קרה בשנות ה-60 לילדים שלמדו את שיטת גטניו. השיטה אינה נס וה'שיכחה' לא היתה שיכחה. כשהציגו את ההצלחה כנס נטלו את הביקורת העניינית מהשיטה. באותן השנים עבדו אך ורק עם הבדידים ויצרו ייצוגים פנימיים מוטעים. פגיעה בייצוג פנימי גוררת התנגדות ומבוכה. לפתע, המשמעויות המתמטיות לא תאמו את הייצוגים הפנימיים של המספר. אם נלמד ילד שעיפרון הוא רק בעל גודל וצבע מסוימים, זו תהיה פגיעה קשה בייצוג הפנימי שלו. ברוב המקרים הוא יגלה התנגדות עזה לערעור הייצוג הפנימי הזה. הוא יחוש שמשהו אינו כשורה. ייווצר אצלו תהליך שנקרא Cognitive Dissonance - הסתירה בין המיוצג אצלו לבין החידוש, המערער ייצוג זה, תגרום להתנגדות או לשיתוק מוחלט של הפעילות הקשורה לדבר. זה מה שקרה לילדי שנות ה-60, שלמדו שגודל (רציף) מסוים מייצג כמות (שאינה רציפה). הם כאילו קפאו על עומדם, האמת הפנימית שלהם לא התיישבה עם דרישות המתמטיקה. ברור שכדי לפתור בעיות במתמטיקה אנו נזקקים לפַּן הכמותי של המספר, לכן התלמידים שהבדידים שימשו בסיס ללימודי החשבון שלהם נכשלים דווקא בפתירת בעיות (9).
רשויות החינוך נהגו באחריות רבה בכך שנתנו את הקורסים המתקנים. כדאי שננהג בהתאם ונעצור את הכישלון הארצי על-ידי קורסים מזורזים למורים ולילדים.
כדי למנוע את המשך ההידרדרות במתמטיקה, כפי שבאה לביטוי במיבדקים הבינלאומיים (10), אין לנו ברירה אלא להגיע למסקנה המתבקשת מכל האמור: אם חפצים אנו בקידום הילדים - אל ניתן להם בדידים בשלב ההקניה של מושג המספר או בשלב ההסבר של פעולות החשבון!
לאחרונה נכנסה תכנית להוראת הבדידים בגני-הילדים. כל עוד הילדים משתמשים בהם למילוי שטחים, אינני רואה, ברגע זה, היזק כלשהו, אבל חלק מהתכנית בנוי על הצמדת מספר לבדיד. בגלל גילם הרך של הילדים - הפגיעה ביכולתם המתמטית תהיה מוחלטת ועמוקה יותר. יש להניח שהשימוש בבדידים יחרוץ את דינם לכישלון מתמטי. לחלקם תהיה זו מכה אנושה וגורלם האקדמי ייחרץ בגן-הילדים. בשם הילדים, אני פונה לכל הגננות: אנא, אל תלכנה בעיניים עצומות אחר אופנה שעלולה לפגוע בילדינו.
אל תתנו להם בדידים!
ביבליוגרפיה והערות
1. שימור של חוקיות הכרחי לביצוע כל פעולה ברמה המופשטת. לדוגמה, החוק של הנפילה החופשית פועל על כל העצמים. הוא נשמר בלי כל קשר לצבעם, ליופיים או לכל תכונה אחרת שלהם. כדי להבין זאת חייב האדם להיות מסוגל להבין את החוק ולשמרובמחשבתו (חוק הנפילה החופשית), למרות השינויים שחלים בתופעה (התכונות השונות של עצמים נופלים שונים, למשל: טעמם, צבעם וריחם).
2. הדוגמה הזאת מבוססת על מקרה אמיתי שאירע לאדם מבוגר. כל הדוגמאות האחרות שבמאמר נלקחו מעבודה עם ילדים. בתקופה שבדקתי את הנושא של הבחנה בין גודל לכמות עסקתי בהנחיה ובדקתי כ-3,000 תלמידים. אצל מרביתם מצאתי אותם כשלי חשיבה. היה קשה מאוד לתקן את המושגים המוטעים, כי טעותם הופנמה והייצוגים הפנימיים המוטעים התגבשו והפכו לחלק מהבנתם את המציאות.
3. בר-אל ציפי (1985). יסודות הפסיכולוגיה הקוגניטיבית. תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה. חוברת 8, עמ' 46-35.
4. ברגמן הוגו (1964). מבוא לתורת ההגיון. ירושלים. מוסד ביאליק. חלק א', פרק ראשון.
5. גביש תלמה (עורכת) (1994). לחשוב נכון מהגן עד התיכון, קריית-ביאליק : הוצאת 'אח'. עמ' 100-83.
6. גביש תלמה (1996). ללמוד לחשוב, קריית-ביאליק : הוצאת 'אח'.
7. גביש תלמה (1998). לחשוב, להבין, להצליח, קריית-ביאליק: הוצאת 'אח'.
8. דוזורצב י', ויניצקי ג', קופר א'. תכנים היסטוריים לשילוב בהוראת המתמטיקה. חיפה. הטכניון - המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים. עמ' 17-16.
9. ויטגנשטיין לודוויג (תשנ"ה). חקירות פילוסופיות. ירושלים. הוצאת ספרים מגנס, האוניברסיטה העברית.
10. מובשוביץ-הדר נצה. SSMIT - המחקר הבינלאומי השלישי להערכת הישגים במתמטיקה ובמדעים. על"ה 21, דצמבר 1997, עמ' 35-13. על"ה 22, מאי 1998, עמ' 46-29.
11. נשר פרלה וצוות מתמטיקה במט"ח (1993). אחת, שתים ו...שלוש חוברת 4, ישראל. מרכז לטכנולוגיה חינוכית ומשרד החינוך, האגף לתכניות לימודים. עמ' 80, 81, 84.
12. סרוף אלן, קופר רוברט, דהארט גאני (1998). התפתחות הילד, טבעה ומהלכה. תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה. עמ' 406-391.
13. פיאז'ה ז'אן (1974). הפסיכולוגיה של הילד, תל-אביב: ספריית הפועלים. עמ' 111-110.
14. פליבל ג'והן ה., (1971). הפסיכולוגיה ההתפתחותית של ז'אן פיאז'ה. ישראל. אוצר המורה. עמ' 305-300.
15. קלר יחיאל (1990). מבוא לפסיכולוגיה. יחידה 6: חשיבה, תל-אביב,. האוניברסיטה הפתוחה. עמ' 65-54.
16. שטיינברג רותי, התפתחות דרכי חשיבה מתמטית של ילדים בגילאים 8-5, החינוך וסביבו, 1989.
17. שרון דליה, עורב מיכל, ד"ר רינה הרשקוביץ, אוסטשינסקי נירה (1997). כלי חשיבה בסיסיים לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה - מדריך למורה. ירושלים. מכון ברנקו וייס לטפוח החשיבה. עמ' 74-7.
18. Atkinson Rita I., Atkinson Richard c., Smith Edward E., Hilgard Emest R., (1985). Introduction to Psychology. San Diego. Harcourt Brace Jovanovich, Publishers. Pp 71-75.
19. Fisher Robert (1995). Teaching Children to Think. U.K. Stanley Thornes. Pp. 184-219.
20. Garden R. A., (February 1987). The Second IEA Mathermatics Study. Comparative Education Review. pp. 47-68.
במאמר יש התייחסות ישירה להרעה הבולטת בהישגי ישראל במתימטיקה, שחלה בין השנים 1964 ל-1984 (עמ' 64).
21. Heath Thomas Little. (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Book 7. Vol.2 New York, Dover.
22. Lorton-Barrata Mary (1976). Mathematics Their Way. California. Addison-Wesley Publishing Company.
23.Richardson M. (1958). Fundamentals of Mathematics. New York. The Macmilan Company. Chapter 3: The Simplest Numbers. Pp. 41-59.
24. Smith D.M. (1951). History of Mathematics. New York. Dover Publication.
25. Wood M., Martha, Capell Peggy (1995). Developmental Mathematics. New York. Brooks / cole Publishing Company. Pp 1-63.
.
(1) ראה ביבליוגרפיה והערות: 3; 6; 7; 9; 14; 15.
(2) לעיון והרחבה ראה ביבליוגרפיה והערות: הבחינה המתמטית: 17; 19; 21; 23; 26. הבחינה ההיסטורית: 8; 24. הבחינה הפסיכולוגית: 12; 13; 14; 15; 16; 18. הבחינה הלוגית: 4. הבחינה הדידקטית: 5; 7; 16; 17; 22; 25.
(3) ראה ביבליוגרפיה והערות: 4; 7.
(4) ראה ביבליוגרפיה והערות: 13; 14.
(5) כנ"ל 3; 13; ;14; 15.
(6) ראה ביבליוגרפיה והערות: 1; 12.
(7) ראה ביבליוגרפיה והערות: 11.
(8) כנ"ל: 2.
(9) כנ"ל: 17.
(10) ראה ביבליוגרפיה והערות: 10; 20.
