איך מלמדים ילדים בגיל הגן לכתוב ספרות?

כתיבת ספרות

יש ילדים בגיל הרך שמתקשים בכתיבת הספרות. הכלל, שאין ללחוץ על הילדים נכון גם לעניין זה. עם זאת, אין לוותר על הקנייה נכונה של כתיבת הספרות.

מהי ספרה?
ספרה היא הסמל שמשמש אותנו להרכיב מספר, יש לנו בשיטה העשרונית 10 ספרות: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 שמהן אפשר ליצור מספרים שונים, ביניהם גם את המספרים 0-9. חשבו למשל על ההבדל בין אותיות לבין מילים: באנגלית יש את האות I אבל גם את כינוי הגוף, I, שמשמש לציון גוף ראשון ביחיד.

מדוע כתיבת ספרות באופן הנכון חשובה כל כך?

אחיזת עיפרון

כאן יש אוסף רב של נימוקים שמחזקים אלה את אלה:

1. חשוב לכתוב כמו שכותבים בכל העולם. 

2. כתיבה ברורה ומדויקת של הספרות מבטיחה בהירות בתקשורת. אם אנחנו כותבים טקסט מילולי ויש בו מילה אחת שאינה ברורה, אז אפשר בדרך כלל להבינה על פי ההקשר. במספרים אין זה כך. כל ספרה עומדת בפני עצמה ולעתים טעות בקריאתה עלולה לגרום לטעויות ולאי-הבנה. למשל, כתיבת 5 ברצף אחד עלולה להפוך במרוצת הזמן לדמוי S. בעת שילוב 5 שכזה

בטקסט באותיות לטיניות עלולה להיווצר הטעייה. הנה כמה דוגמאות לכתיבה לא נכונה של ספרות, כפי שכותבים ילדים, שעלולה לפגוע בהבנה:

3. ההקניה משפיעה על שליטה בתהליכים מוטוריים עתידיים, למשל, כתיבת אותיות בעברית ובשפות זרות.

4. כתיבה נכונה של הספרות תורמת תרומה חשובה לשיפור הכישורים המוטוריים ולפיתוח קשר עין-יד, החשוב כל כך.

5. ליווי בלימוד בהסברים מקנה מושגים מרחביים ומפתח את כושר הריכוז.

6. בתום התהליך נהנים הילדים מתחושת שליטה בפעולות מקובלות ומסוגלות לבצען כהלכה.

אפשר לקרוא עוד על הקשר שבין כתיבת ספרות נכונה לחינוך מתמטי ברשימה "מה לאחיזת עיפרון ולכתיבת ספרות "נכונה" ולחינוך מתמטי בגן?".

השלבים

בגיל הגן לפני שמתחילים עם כתיבת ספרות על דפים באמצעות כלי כתיבה לומדים לזהות את הספרות, לומדים לשייך לכל ספרה את המספר שצורתו זהה ומדגימים את הכמויות שמתאימות למספר.

השלב הבא הוא לצייר את הספרות באמצעות תנועות הידיים באויר. הילדים מרימים מולם את ידם ("להרים את היד שאני מצייר איתה") כשכף היד מאוגרפת והאצבע המורה מצביעה. עכשיו כך "נצייר" באויר בתנועות היד והאצבע המורה את צורות הספרות. ההורה שמורה יעמוד לצד הילדים, כדי שלא לבלבל אותם (הרי אותה התנועה כשמבוצעת על ידי מי שממולי נראית בעיני כתמונת מראה של אותה התנועה שלי). תוך כדי ציור צורות הספרות באויר אומרים בקול.
הנה למשל: הספרה 1: "אנחנו מצביעים הישר קדימה ומציירים באויר נקודה.  מהנקודה אנחנו מושכים קו אלכסוני (כמובן, שיש להסביר קודם לכן מהו קו ומהו קו אלכסוני) דימיוני באויר כלפי מעלה וימינה שלנו.ואז מושכים קו ישר למטה." וכך הלאה לשאר הספרות.

אמצעי נוסף שיפה להשתמש בו קודם לאחיזת כלי הכתיבה וכתיבת הספרות על דפים הוא כתיבת הספרות באמצעות האצבע המורה על החול. זהו דירוג נוסף של המשימה: הילדים לומדים את הצורה ואת התנועה עד שמגיעים לביצוע טוב, נכון ועקבי. בהמשך כשהצורה של כל ספרה ברורה, כשהקשר של כל ספרה למספר המתאים ברור, כשהקשר בין המספר לבין הכמות ברור וכשהתנועה להפקת הספרה ברור הילדים מוכנים לנסות לאחוז נכון בכלי הכתיבה ולגשת למלאכת כתיבת הספרות.

אחרי ההקנייה של כתיבת כל ספרה יש להרבות בתרגול כתיבת הספרות על דפים חלקים או על גבי דפים שמשובצים במשבצות גדולות. לעתים נדרש תרגול נוסף של ספרות מסוימות, למשל הספרה 8, אפשר להקל על המתקשים ולהנחות אותם להתחיל בחלק המוכר -- תחילת הכתיבה של הספרה 2.

אנו ההורים יכולים להנחות את הילד באופן הבא: "עכשיו נעגל את הקו התחתון של 2 ונחזור אל תחילת ה-2." יש להתאמן עם הילדים עד שידעו לכתוב את הספרות בשלמותן.

עכשיו אנחנו מוכנים לרדת לפרטים בנוגע לכתיבת הספרות עצמן באמצעות כלי כתיבה על גבי נייר.

החזקת העיפרון

אחיזת עיפרון נכונה ביד ימין

החזקה נכונה של עיפרון מפתחת את הכישורים המוטוריים העדינים ואת הקשר עין-יד, החיוני לביצוע פעילויות רבות. החזקה שכזאת מקלה על הכתיבה במיוחד כאשר הכתיבה היא רבה ומהירה. שלבי הלימוד:

1. החזיקו את העיפרון קרוב לקצהו בעזרת האגודל והאצבע.

2. קפלו את 3 האצבעות הנותרות כך שישמשו בסיס להנחת העיפרון.

3. קרבו בעזרת האצבע והאגודל את העיפרון, כך שהוא ינוח על 3 האצבעות הקמוצות. העיפרון אחוז על ידי האצבע והאגודל, ונשען על יתר האצבעות. באופן זה נוצרת אחיזה יציבה, המבטיחה כתיבה יעילה ושליטה בתנועתיות של היד בפעילויות מוטוריות עדינות.

זיהוי וכתיבת ספרות  – שיתוף פעולה אקטיבי בין המוח לחלקי הגוף   

אחיזת עיפרון נכונה ביד שמאל

יש להבחין בין מספר תהליכים שבונים את הקניית הספרות:

א. הבנת המשמעות של כמות

ב. זיהוי הספרות וההבנה מה הן מייצגות

ג. כתיבת הספרות

שלושת התהליכים האלה מחייבים שיתוף פעולה אקטיבי בין המוח לבין חלקי הגוף השונים.  הפעלתם מפתחת את תפקוד המוח המפקח עליהם ובונה את הקשר בין הפונקציות השונות של החשיבה ושל המוטוריקה.

החל מגיל צעיר מאוד ובאופן אינטואיטיבי, ילדים מונים, משווים כמויות, מוסיפים ומחסרים, מחלקים לחצאים ולפעמים לרבעים, עורכים התאמה חד חד-ערכית, מבינים מהי קבוצה חלקית וקבוצה כוללת, מסוגלים לפרש תמונה על כל מרכיביה ולחבר לה סיפור. ילדים בגיל צעיר גם יודעים להסביר מהו אפס.

ילדים יכולים לזהות ספרות ואפילו להבין שהן מייצגות כמויות. 

כאשר הילדים מתבקשים לרשום את הספרות, הם מגלים לא אחת קשיים הנובעים מחוסר בשלות בהתפתחות הקשר עין-יד המותנה בשיתוף המוח ושרירי הגוף ומודעות של שרירי הגוף המשתתפים בכתיבה תקנית של ספרות.

פעילות כתיבת הספרות מעמיקה את הקשרים בין המוח לשאר חלקי הגוף כאשר היא מלווה בהקניית מושגים לשוניים.

בעת הלימוד של כתיבת ספרות חשוב להתייחס לקווים ישרים, עקומים ואלכסונים, קווים ארוכים וקצרים, קווים סגורים ופתוחים. רצוי להשתמש במושגים הללו בעת ההסבר, ההדגמה והכתיבה עצמה של הספרות.

במשחקי הכתיבה של ספרות יש להפעיל את כל הגוף, ליצור קשר בין הפעילויות המוטוריות האלה למושגים המוקנים לילדים, ולשלב פעילויות אלו תוך כדי מתן הוראות וביצוען.

הפעלת כל המערכות האלה והתיאום ביניהן נעשית באמצעות המוח ותורמת להתפתחותו הגוף והמוח כאחד.

ילדים שאינם בשלים עדיין לאחוז בכלי כתיבה (למשל בגיל 3) יכולים ליצור את הספרות מבצק משחק ואפשר לעבוד עמם על יצירת "נקניקיות" מהבצק ועיצובן בכיוון הנכון, מלמעלה למטה, לספרות.

נשתמש במושג נקודת מוצא כדי לפתח כתיבה תקנית. לדוגמה: מוצא הספרה  6 הוא למעלה, אבל היא מעוקלת מטבעה לצד שמאל. הספרה  2 מתחילה בראש זקוף, פונה עם כל הגוף ימינה, פונה שמאלה וכך הלאה.  

בדרך זו אפשר לבצע התעמלות בוקר במסגרתה הילדים יוצרים מספרים בעזרת הגוף, ובמוח מתקיימת הטבעה של צורת הספרה ואופן כתיבתה.

פעילות עם כל הגוף תקדים את פעולת הכתיבה עם כף היד. פעילות כתיבה בכף יד תתחיל בכתיבה באוויר, במים, בחול על לוחות גדולים, עם כל כף היד, עם שלוש אצבעות  ושתי אצבעות. חשוב לכתוב ספרות גדולות, ושהילדים ירגישו שהיד אינה מנותקת מהגוף ושכל מארג השרירים משתתף בתהליך.  

כמה הצעות להורים כדוגמאות: 

• כתבו את הספרה  2 באוויר וזהו אילו אברים משתתפים בתהליך. 
• נסו לזהות אילו שרירים משתתפים בכתיבת הספרה 8 (זו הסיבה מדוע קשה להעתיק את הספרה 8). חיוני להבין את המושגים הבאים: נקודת מוצא, פנייה, צד ימין ו-צד שמאל, קו אנכי, קו עקום סגור, קו מעוקל.

הכתיבה על נייר מייצגת אותן הטבעות שנעשו במוח בעזרת הגוף ובתנועות גדולות. בתהליך הכתיבה על נייר יש להתייחס גם לצורת אחיזת העיפרון או הצבע, ולכן יש להקדים לאימון זה פעולות ומשחקים גופניים רבים. הפעלת הגוף כולו חשובה במיוחד בתקופתנו בה הילדים אינם פעילים די הצורך ברמה המוטורית. הפעלה כללית של כל הגוף ושל חלקים נרחבים של המוח מסייעת במניעת כישלונות בכתיבת ספרות ומבטיחה כתיבה ברורה ותקשורת נאותה. מניסיוננו, ילדים שלא למדו כתיבה תקנית בגיל הגן, מתקשים לשנות את דרך כתיבתם, כי במוחם הוטבעה הכתיבה המשובשת.

כיצד מציגים את דרך כתיבת הספרות בד בבד עם התייחסות לצורת הקווים בתמונות ולכמות המוצגת? לדוגמה, אונייה אחת (1) , שני חתולים עם עניבות (2), שלושה בלונים   עגולים (3) וכך הלאה. אפשרי לילדים להתנסות תוך כדי מתן הסבר על נקודת המוצא לכתיבת הספרה ומרכיביה.

[כמובן שיש ללוות את זה בתמונות ואפילו רצוי יותר בעצמים מתאימים: אוניית צעצוע אחת, שתי בובות חתול עם עניבה, שלושה בלונים... -- אין זה משנה מהם החפצים ואפילו רצוי לגוון בהם בין הדוגמאות כדי שלא ליצור קיבעון].

פעילות גופנית המדמיינת ספרה , מקדמת זיהוי וכתיבה נכונה של ספרות, מונעת ניוון של השרירים ומפתחת את המוח.

הנה דוגמה להנחיה לגננת ובאותו האופן להורים:

כיצד לכתוב את הספרות?

הספרה 2:

הבא נבחן דוגמה לפיתוח המודעות של הילדים לזיהוי סוג הקו הבונה את הספרה 2.

הילדים יתמקדו בקו היוצר את העניבה, ואת הקשר הכמותי אליה.

השיחה עם הילדים תתייחס למבנה הספרה (קו עקום).

הצעה לפעילות:

• עברו עם האצבע על העניבה של כל אחד מהחתולים
• מה הרגשתם?
• האם התחושה דומה?
• כמה חתולים יש בתמונה?
• מה ההבדל בין החתולים?
• שימו לב לנקודת המוצא של הספרה

זוהי הזדמנות טובה לדבר על מקומו של ה-2 ברצף הספרות: בין 1 לבין 3. 2 הוא מספר זוגי ולכן ניתן לומר שבתמונה יש זוג חתולים.

נבקש מהילדים לספר סיפורים על חתולים.

נקפיד על התפתחות השפה: חתול אחד, חתול שני, שני חתולים, חתול אחד ועוד חתול הם שני חתולים וכו'.

מתוך חוברת מתמטיקה יסודית לגיל הרך, חוברת 2, עמוד 9

והנה דוגמה לעבודה על הספרה 8:

נמחיז בעזרת 8 ילדים ו-8 כדורים מצב שבו ישנו קשר בין חתולים לבין כדורים. נדגיש את הדמיון ואת השוני שבין החתולים השונים ואף בין צבעי הכדורים.

בעבודה עם התמונה הזאת (ראו למטה) מסבירים את הקשר שבין הספרה לבין כמות.

בתמונה יש 8 חתולים. אפשר לבחור אחד מהם ולתאר אותו ביחס לתנועה שלו, וביחס לכדור. נשאל את הילדים במה שונים החתולים זה מזה מבחינת הצבע, התנועה והמגע עם הכדור.

אפשר למצוא את הקשר בין העיגול, כמדמה כדור, לבין מרכיבי הספרה 8.

נשאל שאלות מנחות כגון:

• כמה כדורים יש לכל אחד מהחתולים?
• כמה כדורים יש בסך הכול בתמונה?

נדגיש את ההתאמה שבין הכדורים לבין החתולים: לכל חתול יש כדור אחד.

נפנה את תשומת לב הילדים לחיצים שעל גבי הספרה 8:

• לאיזה כיוון פונים החיצים?
• מהי נקודת המוצא? היכן היא?

נבקש מהילדים להשתמש בכל חלקי היד כדי "לכתוב" את הספרה.

הסיפור המתמטי יתייחס למספר נושאים:

• חיבור של כל החתולים: ...1+1+1
• הבדלים בצבעים ובתנועה של החתולים
• כיצד החתולים מזיזים את הכדורים?

נבקש מהילדים לצבוע את הכדורים בצבעים שונים ולאחר מכן נבקש מהילדים לבנות סיפור חשבוני ביחד איתנו:

כמה כדורים צהובים יש? כמה אדומים?

כל פריט בקבוצה הוא חלק אחד מהקבוצה השלימה.

מתוך חוברת מתמטיקה יסודית לגיל הרך, מספר 2 עמוד 19

באופן דומה אפשר לעבור על הספרות כולן.

האפס

את האפס כדאי ללמד לאחר שהילדים למדו כבר כמה מספרים.

משחק: מניחים על השולחן מספר בקבוקים. מבקשים מילד למנות אותם ולהסיר מן השולחן בקבוק אחרי בקבוק תוך מניית הבקבוקים הנותרים בכל פעם. לבסוף לא יוותרו בקבוקים על השולחן.

נשאל: כמה בקבוקים יש על השולחן?

תשובה: אפס

שאלה: כמה ילדים יש פה? (נצביע על מקום שבו אין ילד שיושב)

תשובה: אפס

שאלה: כמה פילים יש בחדר?

תשובה: אפס

שאלה: אני מניח על הרצפה בובה. כמה בובות הנחתי על הרצפה?

תשובה: בובה אחת.

שאלה: עתה אתן את הבובה ל____. כמה בובות יש עתה על הרצפה?

תשובה: אפס

שאלה: על הרצפה הנחתי 5 תיקים. אני רוצה שיהיו לי על הרצפה 0 תיקים. מי יכול להראות לי מה יש לעשות כדי שיהיו לי אפס תיקים על הרצפה?

תשובה: ילד בא ולוקח את התיקים

שאלה: מי יכול לספר מה קרה?

תשובה: היו 5 תיקים ____ לקח אותם ועכשיו יש אפס תיקים.

יש לעודד את הילדים לספר סיפורי אפס.

כתיבת האפס

חשוב להנחות את הילדים בכתיבה נכונה של הספרה: "נחזיק את העיפרון ביד שבה אנחנו מציירים. נרים אותו כלפי מעלה." נסביר כיצד יש להחזיק נכון את העיפרון. "נצייר ביחד באוויר מעגלים גדולים ככל שנוכל. נקטין אותם לאט לאט." ילד שמאלי יחוג מעגלים ביד שמאל. "נתפוס את הנקודה העליונה של המעגל בעיפרון שלנו ונפנה עם העיפרון שמאלה כלפי מטה. נגיע לנקודה התחתונה של המעגל, נפנה ימינה כלפי מעלה ונסגור את המעגל."

אם יש אפשרות להשמיע מוזיקת רקע -- כדאי לנצלה. הריתמוס מסייע לקליטה ולהפנמה ומהנה את הילדים.

לסיכום, 

החזקה נכונה של עיפרון מפתחת את הכישורים המוטוריים העדינים ואת הקשר עין-יד, החיוני לביצוע פעילויות רבות. החזקה שכזאת מקלה על הכתיבה במיוחד כאשר הכתיבה היא רבה ומהירה. ילדים שלא למדו כתיבה תקנית בגיל הגן, מתקשים לשנות את דרך כתיבתם, כי במוחם הוטבעה הכתיבה המשובשת. יש ילדים בגיל הרך שמתקשים בכתיבת הספרות. הכלל, שאין ללחוץ על הילדים נכון גם לעניין זה. עם זאת, אין לוותר על הקנייה נכונה של כתיבת הספרות. יש להרבות בתרגול כתיבת הספרות על דפים חלקים או על גבי דפים שמשובצים במשבצות גדולות. ילדים שאינם בשלים עדיין לאחוז בכלי כתיבה (למשל בגיל 3) יכולים ליצור את הספרות מבצק משחק ואפשר לעבוד עמם על יצירת "נקניקיות" מהבצק ועיצובן בכיוון הנכון, מלמעלה למטה, לספרות. אנחנו ההורים יכולים לבלות עם הילדים ולהעסיקם ובעת ובעונה אחת לפתחם מוטורית וקוגניטיבית להעשיר את שפתם ולקשור את השפה לפעילות ולתרום לתפישתם הכמותית.

שלמה יונה

* החומר עובד מתוך חוברות מתמטיקה יסודית לגיל הרך וממדרשי התמונה ב-"חושבים ומחשבים" מאת אסיה לויטה ותלמה גביש.

מתמטיקה - מי צריך את זה בכלל? מאת חני גביש

חינוך מתמטי

מתמטיקה - מי צריך את זה בכלל?

חני גביש

אנשים רבים נואשו מן המתמטיקה בעודם צעירים לימים. שנים רבות הם נושאים תחושה של חרדה ומיאוס שנצרבו בתודעתם. כישלונות מביכים ותחושת אין-אונים מניבים משפטים כנועים כמו: "אפשר להסתדר גם בלי מתמטיקה", "מי צריך את זה בכלל", "לא כולם נועדו להיות מתמטיקאים", "מתמטיקה זה לא בשבילי".

בשביל מה בכלל חינוך מתמטי?

עבור רבים מידי, השער לעולם המדהים של המדעים נחסם בכיתה ב', ג' או ד'. מדענים, ובהם מקבלי פרס נובל מביעים שוב ושוב דאגה כבדה ואמיתית לעתיד ההתפתחות המדעית של ישראל. אפשר לסמוך על חוות דעתם. הם הרי פוגשים את הצעירים, תוצרי מערכת החינוך שנעלה בפניהם שערים רבים מידי.

שער נעול למדעים אינו גזרת גורל, אלא שרשרת של שגיאות שהגיעה השעה לתקן אותן ולהותיר שערים פתוחים בפני כל תלמיד שיבחר לפסוע בהם.

אפשר ללמוד מתמטיקה מתוך חדווה וסקרנות, אפשר לחוות את עולם המספרים, השזור כל כך בחיינו, מתוך הבנה אמיתית ותחושת שליטה. כן, אפשר גם להצליח. אנו, חברי "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", רואים שזה אפשרי. מזה שנים אנו מנחים מורים בשיטת "מתמטיקה יסודית" ופוגשים ילדים האוהבים ללמוד מתמטיקה ומביעים תרעומת כאשר הם נאלצים לוותר על שיעורים בשל פעילות אחרת. אנו רואים ילדים צעירים מבינים חוקים מתמטיים, עורכים דיונים בכיתה על דרכי פתרון שונות ומשתמשים בשפה מתמטית תקנית. ילדים מתקשים אינם נגררים מאחור וילדים מוכשרים מאותגרים בסוגיות נוספות .

כאשר מלמדים את הכללים והחוקים המתמטיים הנכונים, כאשר מכבדים את הידע האוניברסלי ומשתמשים בו, כאשר מתעמקים במשמעויות ובדקויות – מתרחש הפלא המשולש: הבנה מתמטית, שליטה, הצלחה.

מתמטיקה היא הרבה יותר מ – 4 פעולות החשבון, מספרים שלמים ומעורבים, שברים פשוטים, חזקות, מספרים חיוביים ושליליים. מתמטיקה היא הרבה מעבר למשוואות ונעלמים, גרפים, גיאומטריה והנדסת המרחב ועוד. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים. הוראת מתמטיקה מחייבת את המורה לגישה טרנסצנדנטית שמהותה: חינוך מתמטי. ב "מתמטיקה יסודית" שזורות תורותיהם של פיאז'ה, ויגוצקי, פוירשטיין ואחרים והיא מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי במיטבו.

עקרונות החינוך במתמטיקה יסודית

סדר, ארגון והתמצאות במרחב

הוראה נכונה של מתמטיקה מבוססת על סדר ומחנכת לסדר. סדר מתייחס לא רק למיקום של מרכיב בודד אלא גם למערכת היחסים בינו לבין מרכיבים אחרים. כאשר נפקד מקומו של הסדר מתהליך ההוראה, החשיבה, הפתרון ורישום התשובה – יעילותו של הלומד נפגמת, שכן אי- סדר מעכב את הבנת הבעיה, ומספק קרקע פורייה לשגיאות וטעויות.

הסדר שבו מופיעות הספרות במספר קובע את משמעותן. האלגוריתם הנפוץ והיעיל של פעולות החשבון מתבצע בסדר מסוים וקבוע. למשל – הפעולה החשבונית בתרגילי חיבור, חיסור וכפל במאונך מתחילה מימין לשמאל. לעומת זאת, הפעולה החשבונית בתרגילי חילוק ארוך מתחילה משמאל לימין.

מתמטיקה דורשת סדר והתמצאות במרחב. המתאם בין קשיים בהתארגנות והתמצאות במרחב לבין כשלון במתמטיקה הוא גבוה ביותר. לפיכך, חינוך מתמטי נכון תורם לסדר, ארגון, מודעות למרחב והתמצאות בו, בלעדיהם חשיבה מתמטית תקינה אינה אפשרית. ילד שאינו מבחין בין ימינו לבין שמאלו אינו מסוגל לבצע פעולות חשבוניות על פי הכיוון הנדרש ואינו מסוגל להבחין במשמעויות השונות הנגזרות מן הסדר. התמצאות במרחב חיונית לא רק במתמטיקה אלא אף לתהליכי חשיבה שאינם מתמטיים, למשל: קריאת מפה, ניווט, גיאוגרפיה ותקשורת בכל תחומי החיים.

חוקים אוניברסליים ומשמעת עצמית

בניגוד לתחומים רבים, במתמטיקה יש גבולות ברורים. הילד לומד לפעול בגבולות מוגדרים ומוסכמים. החינוך המתמטי חושף בפני הילד את החוקים האוניברסליים שעל פיהם ובעזרתם נפתרים תרגילים ובעיות. למשל: הסימנים בהם אנחנו משתמשים לבטא מספרים הם אחידים ומחייבים, כתיבת הספרות נעשית תמיד משמאל לימין, פעולת כפל/חילוק תמיד קודמת לפעולת חיבור/חיסור, המספרים מאורגנים במבנה עשרוני ועוד ועוד.

החוקים המתמטיים מבוססים על היגיון, הכללים המתמטיים נקבעו בהסכמה.

חינוך מתמטי מתחיל בכללי סדר ומשמעת. המורה מקנה את החוקים והכללים, מבהיר את ההגיון שבבסיסם ומלמד להשתמש בהם. כאשר הסדר והכללים מופנמים נוצרת משמעת עצמית שמהותה שימוש ספונטני ורצוני בכללים ובחוקים שנלמדו. כאשר ילד חייב לקבל על עצמו חוקים אוניברסליים הוא מביע בכך את השתייכותו לתרבות שבה הוא חי.

אחריות לתוצאה וביקורת עצמית

הוראה נכונה של מתמטיקה מחנכת לאחריות אישית לתוצאה. האחריות באה לידי ביטוי בהכרה שיש תשובה נכונה ויש תשובה שגויה. אחריותו של הלומד היא ליצור את התשובה ולוודא את נכונותה בתהליך של ביקורת עצמית. ככל שהלומד מתפתח ומפנים את החוקים האוניברסליים, האחריות המוטלת עליו מתבטאת גם בבקרה עצמית.

חינוך מתמטי מבהיר שלא כל תשובה מתקבלת, לא כל דרך מותרת, לא הכל יעיל ומי ששגה נדרש לתקן. אחריות לתוצאה אומרת שהאדם נדרש להכיר בטעות, שעה שהיא מתרחשת. במתמטיקה, לעיתים יש יותר מדרך אחת להגיע לתוצאה נכונה. יש עדיפות ברורה לפתרון חסכוני או מבריק. יש לשקול את הדרכים ולדעת לבחור דרך נכונה שהיא גם יעילה.

פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה: מטה-קוגניציה

חינוך מתמטי אמור לטפח חשיבה ולעודד את הלומד להיות ער ומודע לתהליכי החשיבה שלו עצמו. מודעות זו מתפתחת כאשר מורה מבקש מן התלמיד להסביר מה היו השיקולים שהנחו אותו בדרך לפתרון. אט אט מופנמת הדרישה החיצונית והופכת להיות הליך ספונטני אותו מפעיל הלומד. המודעות לתהליכי החשיבה היא חלק מן הבקרה והאחריות המתפתחות בלומד. המודעות לתהליך החשיבה מתייחסת הן לתוצר (נכונות התשובה) והן לתהליך (הדרך).

ייצוג המשמעות הכמותית של המציאות

אנו שואפים שעולם המספרים יהיה חלק בלתי נפרד מתפיסת המציאות של הילדים. אנחנו רוצים להסב את תשומת ליבם שהעולם בו הם חיים מזמן מידי יום, מצבים שבהם נדרשת הבנה מתמטית. כדי שיוכלו לשלוט, להבין ולהסתדר בעולם, עליהם להכיר מה החוקיות של עולם המספרים. חינוך מתמטי חושף את החוקים ומעניק למספרים את משמעותם. בהיותם חלק מן המציאות מייצגים המספרים, בראש וראשונה, כמות. (למשל: 2 עפרונות, 3 ילדים, בית אחד, 50 שקלים, 10 דקות, 12 מטרים, 8.2 ליטר, 215 דונם ועוד ועוד). כמות זו באה לידי ביטוי בכל מערכות החיים שבהן נדרשת מדידה. המשמעות הכמותית היא סוג של ארגון המציאות וחינוך מתמטי הולם בונה את אחד הייצוגים החשובים של המציאות: הייצוג הכמותי.

טיבעם הממשי, והמוחשי של תהליכי החשיבה של ילדים אמור להכתיב את מסלול התקדמות הלימוד המתמטי - מן המוחשי אל המופשט. אחרי שנבנה הייצוג הכמותי של המציאות, ירחיב החינוך המתמטי את ייצוג המספרים למשמעויות מופשטות יותר ויותר, למשל נוסחאות.

יצירתיות וגיוון

חינוך מתמטי טוב צריך להיות מעוגן, כאמור, בתוך עולם המציאות. מחד, נדרש הלומד להפנים חוקים אוניברסליים, ליצור תשובה נכונה שיש לה משמעות ומאידך הוא מצופה למצוא דרכים שונות שבהן הוא יכול ליישם את החוקים כדי לתת מענה לבעיות חדשות. היצירתיות נדרשת שעה שבעיות חדשות, לא מוכרות, צצות ותובעות פתרון. כדי ליצור פתרונות יצירתיים יש לשלוט היטב ביסודות הקיימים. כל יצירתיות היא צירוף חדש של יסודות (חוקים, עקרונות, ידע) קיימים. בבחינת יצירת "יש" מ"יש" ולא "יש" מ"אין". מתמטיקאי מוכשר עשוי להגדיר ולנסח קשרים בין תופעות שאיש טרם זיהה לפניו על בסיס חוקיות שבה הוא שולט. מבחינה זאת, מתמטיקה פתוחה ליצירתיות וחדשנות ככל תחום אחר שעולה על דעתנו.

מיומנות ושליטה באמצעות תרגול

שליטה משמעה יכולת להפיק במהירות תשובה נכונה, שילוב של דיוק ומקצב. אין די בהבנת החומר הנלמד אלא יש צורך בשליטה בו. השליטה נרכשת באמצעות תרגול יומיומי הכולל פתרון תרגילים/בעיות בע"פ ובכתב. בתהליך רכישת השליטה מופנמות אסטרטגיות ותהליכי החשיבה מתייעלים. כתוצאה מכך, פוחתת כמות השגיאות ועולה רמת המיומנות. השליטה סוללת את הדרך, להתקדמות נוספת: היא מפנה משאבי קשב ועיבוד לתחומי לימוד מורכבים ומסובכים יותר. תלמיד שלא הגיע לשליטה בחומר לימוד נוכחי, מתקשה מאוד להתמודד עם חומר לימוד מורכב יותר כי הקשב שלו מופנה לחישובים ברמה הבסיסית. כל למידה מתבססת על ידע שנרכש וכשרוצים להתקדם לא ניתן לחזור שוב ושוב אל ההתחלה.

השגת שליטה באמצעות תרגול שיטתי נחוצה לכל התלמידים, מתקשים ושאינם מתקשים, בעלי תפיסה רגילה ומחוננים. צמצום תרגול פוגע גם בתלמידים מוכשרים ומחבל במימוש הפוטנציאל שלהם. השליטה מקנה בטחון. ילד שלא מגיע לשליטה פותר בעיה באיטיות רבה. איטיות רבה מבזבזת משאבים (זמן, קשב) ומעידה על העדר אסטרטגיה יעילה, נוסף על כך היא חושפת את הילד לטעויות רבות.

דיוק שפתי

שפה היא אמצעי לארגון העולם באמצעות סמלים המשמשים לייצוג עצמים, מצבים ותופעות. מתמטיקה היא שפה. חינוך מתמטי נכון מבוסס על מושגים מתמטיים אוניברסליים ודיוק שפתי (מחוברים וסכום, כופל, נכפל ומכפלה, מחולק, מחלק ומנה, אחדות, עשרות, מאות, אלפים…, חילוק לחלקים, חילוק להכלה, שבר פשוט, שבר מעורב ועוד ועוד). בכל תחום ידע, לימוד ומחקר אנחנו מוצאים קשר הדוק בין שפה לבין חשיבה. שפה מתמטית מדויקת ועשירה חיונית לפיתוח חשיבה מתמטית ברמה גבוהה, הבנה ותקשורת בהירה. העושר השפתי מספק כלים להבחין בתופעות ולהבחין בין תופעות, הוא סולל את הדרך לרמות גבוהות של הפשטה.

התמודדות עם אתגרים

חינוך מתמטי נכון, מציב בפני התלמידים אתגרים ואינו מוותר על משימות המעוררות קושי או מצריכות השקעת מאמץ בדרך להפנמתן. חינוך מתמטי מחפש דרכים חדשות ללמד תכנים שאינם מובנים כהלכה, פורם את הקשיים ואינו עוקף או נמלט מפניהם. בחינוך מתמטי נכון הקושי אינו אמור לעורר אמוציות שליליות כמו חרדה. באמצעות תיווך ניתן להפוך קושי לאתגר אינטלקטואלי שבו שותפים המורה והתלמיד, הקושי יוצר הזדמנות לגיוס משאבים כמו: ידע, ניסיון, יצירתיות ושיתוף פעולה המכוונים להשגת הבנה ושליטה ברמה גבוהה יותר. כל קושי שמצא את פתרונו בונה יכולת טובה יותר. חינוך להתמודדות עם אתגרים יוצר חווית מסוגלות וגישה אופטימית הנובעת מן ההתמודדות ותחושת השליטה. אורך רוח ונחישות הם מפתח להצלחה בכל תחום בחיים.

סיכום

עקרונות החינוך המתמטי שנמנו לעיל: סדר ארגון והתמצאות במרחב, חוקים אוניברסליים ומשמעת עצמית, אחריות לתוצאה וביקורת עצמית, פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה: מטה-קוגניציה, ייצוג המשמעות הכמותית של המציאות, יצירתיות וגיוון, מיומנות ושליטה באמצעות תרגול, דיוק שפתי והתמודדות עם אתגרים – תקפים בתחומים שונים בחיינו. החינוך המתמטי שבו מאמינים אנשי "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", משולב בשגרת החיים של כל אדם ומבוסס על עקרונות שיש בהם לטפח ולשפר את אורחות חייה של כל קהילה אנושית .

שלמה יונה
* המאמר מאת חני גביש. הקישורים הוספו על ידי

מה זה בכלל חינוך מתמטי לגיל הרך? שאלות ותשובות

אז מה זה בכלל חינוך מתמטי? למה זה טוב? ולמה בגיל הרך?

פתחתי את יומן הרשת הזה כדי לאפשר תקשורת עם משתתפי הסדנה (ראו הזמנה): לענות על שאלות, להסביר ולהרחיב ולקבל הערות, שאלות והצעות.

אני? רק שאלה!

בינתיים, קיבלתי כבר באמצעי תקשורת אחרים (בעל פה, בטלפון, בדוא"ל, בפייסבוק ואפילו בגוגל+) כמה שאלות. על חלקן אענה בהרחבה ואפרט בימים הקרובים ברשימה מלאה. היו כמה שאלות שחזרו על עצמן והן מהותיות בכלל לעצם ההתעניינות בסדנה. הנה השאלות והנה התשובות.

שאלה: מתמטיקה?! מי צריך את זה בכלל?
תשובה:

אני מציע לקרוא מאמר "בגובה העיניים" שכתבה חני גביש שכותרתו בדיוק כך: מתמטיקה -- מי צריך את זה בכלל?
אני מביא כאן את פסקת הסיכום, אך ממליץ בחום לקרוא את המאמר המלא:

מתמטיקה היא הרבה יותר מ – 4 פעולות החשבון, מספרים שלמים ומעורבים, שברים פשוטים, חזקות,מספרים חיוביים ושליליים. מתמטיקה היא הרבה מעבר למשוואות ונעלמים, גרפים, גיאומטריה והנדסת המרחב ועוד. מתמטיקה היא חלק מן האופן שבו אנחנו מתבוננים ומייצגים את המציאות והיקום בו אנו חיים.הוראת מתמטיקה מחייבת את המורה לגישה טרנסצנדנטית שמהותה: חינוך מתמטי. ב "מתמטיקה יסודית"שזורות תורותיהם של פיאז'ה, ויגוצקי, פוירשטיין ואחרים והיא מביאה לידי ביטוי חינוך מתמטי במיטבו.
[...]
עקרונות החינוך המתמטי שנמנו לעיל: סדר ארגון והתמצאות במרחב, חוקים אוניברסליים ומשמעת עצמית, אחריות לתוצאה וביקורת עצמית, פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה:מטה-קוגניציה, ייצוג המשמעות הכמותית של המציאות, יצירתיות וגיוון, מיומנות ושליטה באמצעות תרגול, דיוק שפתי והתמודדות עם אתגרים – תקפים בתחומים שונים בחיינו. החינוך המתמטי שבו מאמינים אנשי "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", משולב בשגרת החיים של כל אדם ומבוסס על עקרונות שיש בהם לטפח ולשפר את אורחות חייה של כל קהילה אנושית .

שאלה: מה זה חינוך מתמטי לגיל הרך?
תשובה:

חינוך מתמטי בגיל הרך הוא הקניית מושגים מתמטיים ויצירת שפה לוגית מדויקת הכוללת מושגים כמו: גדול מ..., ארוך, יותר, פחות, וכו'. קישור השפה הזאת לחוויות היומיומית של הילד. חשוב להדגיש ולהרחיב את המושגים הנרכשים כגון מושגי יחס, כמות, בעזרת כלים המתאימים לגיל הרך.

שאלה: בשביל מה צריך חינוך מתמטי לגיל הרך?
תשובה:

בגיל הגן נבנית השפה הפנימית של הילד שעליה מתעצבים כל דרכי החשיבה שלו בהמשך. בניית יסודות כאלה מבטיחה קליטה והבנה של המשך הלמידה.

שאלה: כיצד חינוך מתמטי תורם לילד?

תשובה:

שפה וחשיבה קשורות זו בזו. בניית שפה מבטיחה קליטה של חומר עתידי, לא רק במתמטיקה. שפה מאפשרת לקשר את המציאות לביטוי מתמטי, בלי קשר כזה קשה מאוד לפתור בעיות מתמטיות.  הקשר בין השפה המתמטית לשפת האם יעזור להבין תהליכים לוגיים. גם שאלת שאלות, גם איסוף נתונים, גם השוואה בין גדלים וממדים שונים היא – פיתוח החשיבה המתמטית.

שאלה: מה קורה אם לא עושים?

תשובה:

ישנם שמייחסים את כשלונותינו במבדקים הבינלאומיים לעובדה שהתהליך הזה לא נעשה. ב-1964 היינו ראשונים בין המדינות שנבדקו אז במבדקים הבינלאומיים. אז נבחנו רק ארצות המערב. כיום אנחנו במקום ה-41 כשארצות כמו אירן, טוניס, ודומות להן מקדימות אותנו. אם אין בונים שפה מדויקת כבר בגיל הרך, הנזקים הם ארוכי טווח. חשוב להבין שבמחקרי ובמבדקי חינוך ישנה בכל מקרה בעייתיות רבה עם התאמה (קורלציה) ועם סיבתיות (קוזאליות). לאורך עשרות שנים המדינות שמטפחות את החינוך המתמטי באופן המתואר כבר מגיל צעיר ובאופן עקבי בהמשך ביסודי והלאה הן אלה המדינות שמובילות במבדקים הללו -- ואילו מדינות שנטשו שיטות כאלה ועברו לשיטות אחרות באופן עקבי מפגרות באופן משמעותי.

שאלה:  האם החינוך המתמטי כבר בגיל הרך עלול לחסום את היצירתיות?

תשובה:

מקובל לחשוב (זה מגיע כנראה משיווק מוצלח של שיטת חינוך-ולדורף, אנתרופוסופיה) שהשקעה בחינוך מתמטי ובאוריינות שפה חוסמות התפתחות יצירתית. לטענה או להנחה הזאת אין אחיזה במציאות. 

ההיפך הוא הנכון. חינוך מתמטי ואוריינות שפה הם בסיס ליצירתיות.

כדי שתיווצר יצירתיות זקוק האדם לכלים שפתיים ולהבנת המשמעות של המושגים המתמטיים. המשמעות המתמטית היא הקשר בין בין המושגים לחיים.

השפה המתמטית קשורה לכל חלק ביצירתיות. הנה מספר דוגמאות:

בציור: הבנת כללי הפרספקטיבה: למה העץ הקרוב גדול יותר לעומת העץ הרחוק. נבדוק זאת במציאות, נבדוק זאת בציורים ונשאיר לילד להתגבש עם הפרספקטיבה. מן המחקר: מוסיקה ומתמטיקה הולכים יחד וכך גם פיסול, ספורט, מוסיקה ותחומים נוספים.

שאלה: זה לא עומד בסתירה ל-שיטות אחרות בגיל הרך? למשל מונטוסורי -- ואם כן היכן? אם זה עולה בקנה אחד, כיצד?

תשובה:

הגישה שאציג לחינוך מתמטי אינה בסתירה למונטסורי, אלא משלימה אותה. מבחינה רעיונית זה אותו רעיון של פיתוח  האישיות של הילד.

שאלה: היכן כבר ניסו ללמד ילדים כך? מה ההתרשמות? האם נבדקו יכולות וכישורים של ילדים שבוגרים חינוך שכזה לעומת כאלה שלא? איך בדקו? מה התוצאות? מה המסקנות?
תשובה:

הגישה בשימוש ברבות  מארצות מזרח אסיה והצלחתם הבינלאומית היא תוצאה של ההשקעה הזאת. הגישה כבר נוסתה בעולם והוכחה לאורך זמן. ההישגים של סינגפור מקדימים את כל העולם ולכן גם כלכלתם עולה וצומחת, למרות גודלה הקטן של סינגפור ואוכולסייתה המגוונת. איזהו חכם? הלומד מנסיונם של אחרים...

שאלה: זה לא שסינגפור מצליחה על חשבון יצירתיות? 

תשובה:

לא. זה לא. סינגפורים רבים יצירתיים מאוד ומוכשרים מאוד ממלאים את רשימות המצטיינים במוסדות יוקרתיים בעולם וכן משרות מפתח בעיצוב, בתכנון, בתעשייה ובהייטק.

יש כאן אי הבנה ובלבול. אנסה לסדר.

יצירתיות היא חריגה מהקו הכללי. כדי לחרוג ממנו צריך לדעת אותו. פירוש הדבר: צריך ללמד את הבסיס ולהדגיש את התהליך החשיבתי. כמו שצייר יכול להיות יצירתי רק אם יידע כיצד להשתמש בצבע. קודם צריך להקנות את הכלים הבסיסיים.

בעיקרון, יצירתיות היא תכונה אישית. אי אפשר להקנות יצירתיות, אפשר לעורר ענין, אפשר ללמד יסודות, אפשר לגרות את הדמיון באמצעים שונים, אבל ללמד יצירתיות זה כמו ללמד מישהו איך לשנות את ה-DNA שלו.

מורה טוב שיודע להיות מעניין ולהאיר את המשמעויות של החומר המתמטי, יכול לעורר עניין ולעורר את אלה שהם יצירתיים להוציא אל הפועל את תכונתם זו. ה"מרובעים" ילמדו יסודות ויקנו כלים לפתרונות ויצליחו (לפעמים אפילו יצליחו מאוד) , אבל לא ימציאו שום דבר ולא יהיו יצירתיים. ה"יצירתיים" יקנו את הכלים וימריאו איתם גבוה.

לחנך ליצירתיות זה אוקסימורון (שלא לומר שטות מוחלטת), זהו דבר והיפוכו: חינוך הוא הכנסה למסגרת, יצירתיות היא פריצת המסגרת. הדבר היחידי שחשוב לעשות והוא אינו פשוט, כי המורה עצמו צריך להיות יצירתי , זה לדעת להגיב נכון כאשר נחשפת היצירתיות בעת הלימוד ולעודד את הלומד להמשיך בדרכו בנוסף לרכישת הכלים הסטנדרטיים.

המורה הוותיקה תלמה גביש אומרת: 

"התבוננות על בעיה מזוויות שונות אינה חשיבה יצירתית. פגשתי בוגרים רבים של הקורסים ליצירתיות וראיתי איך הם מרבעים את היצירתיות והופכים אותה לשטנץ, שלא פעם גורם להם שהם יוצאים מהפוקוס של הבעיות שעליהם לעסוק בהן. עד שלא פגשתי זאת אישית לא חשבתי שיש בקורסים האלה משום נזק לחלק ניכר מהמשתתפים בהם. היה עלי לעמול די קשה כדי להחזיר את המיקוד לאותם ילדים. רק לאחר שהצלחתי בכך ניתן היה לבנות חשיבה מסודרת. חלק מהחברה האלה הגיע לרמה מסוימת של יצירתיות ורובם נשארו מרובעים, למרות היותם מוכשרים מאוד. יצירתיות היא תכונת אופי. כל מה שאפשר לעשות למענה זה לא לעצור אותה כשהיא מתגלה."

שאלה: איך חינוך מתמטי לגיל הרך מסתדר עם עמדת משרד החינוך בארץ?

תשובה:


לגבי הלימה לדרישות או לציפיות משרד החינוך בתוכנית שלהם  לחינוך מתמטי לגנים (ראו תוכנית לימודים לחינוך הקדם יסודי התשס"ח), הגישה שאני מציג ושלפיה בנויה תוכנית "מתמטיקה יסודית לגיל הרך" תואמת לדרישות הליבה של משרד החינוך באופן מלא.

כל הגנים בארץ מונחים על ידי משרדת החינוך לקדם את האוריינות ואת החשיבה הלוגית מתמטית אם זה במדעים ואם זה במתמטיקה. אני מספר לכם על ייחוד שהוא העיסוק בטיפוח השפה, באמצעות מדרשי תמונה וסיפור מתמטי. הכישלונות במתמטיקה הם בעיקר בבעיות. ילדים שלא למדו כיצד לפרק בעייה על מרכיביה ולתאר אותה באופן מתמטי שמתאר את המציאות בייצוג שמתאים ואז לפתור אותה ביעילות. הגישה שאני מציג מספקת מענה ראוי ויסודי.

שאלה: מה המטרות ואיך מודדים את השגתן?
תשובה:

המטרה היא פיתוח יכולותיו של הילד והבאתו לתחושה של מסוגלות (אמיתית ולא מזוייפת). ישנם כלים רבים למדידת הישגים. הבעיה היא שבחינוך ההישגים המיידיים אינם תואמים לאלה מרחיקי הטווח. הניסיון שעליו מבוססת הגישה יונק מהתוצאות הבינלאומיות, כי היום התחרות היא בינלאומית. רק החזקים ישרדו כלכלית.

פה החשבונית. היא בעיקר כלי משחק וחקר.

הנה פירוט המטרות:

1. לפתח את השפה הדבורה תוך התייחסות לחשיבה המתמטית  כחלק מתהליכי ההתפתחות הטבעית של  הילד.
2. פיתוח החשיבה הלוגית- מתמטית ככלי להתבוננות ולפעילות חקר בחומי המדע והטכנולוגיה שבסיסם החשיבה הכמותית ככלי עבודה יומיומיים.
3. הקנית יחידת תוכן תוך ניסוח מדויק של מושגים מתמטיים הנדרשים  להבנה מתמטית. להגיע עם הילדים אל ההכללה המתמטית ואל תופעות שונות בעולמנו הניתנות  לתיאור מתמטי.
4. לעודד תהליכי פתרון בעיות מילוליות הדורשות אלגוריתם פשוט בתחום 4 פעולות החשבון ובכך  למנוע קשיי למידה וחסכים בעתיד.
5. פיתוח היצירתיות על-ידי המצאה של סיפורים חשבוניים, משחקי חשבון, בדיחות וחידות שהילדים יציעו בעצמם.

יש לזכור כי גן הילדים  אמור לספק לילד מערכת חווייתית החושפת אותו באופן פורמאלי למחצה למושגים, להתנסויות ולחשיבה, שעיקרם קירוב הילד לתחושה של העולם הסובב.


לסיכום:
אני מקווה שהשאלות והתשובות מסייעות להבנה ומספקות את הצורך להבין במה מדובר. אשמח לקבל שאלות נוספות, כמו גם הערות והצעות.



שלמה יונה
* תודה רבה לתלמה גביש, לאסיה לויטה ולמשה ריין מהעמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול על הערותיהם המועילות

התמצאות במרחב -- בניית כישורים

התמצאות במרחב -- בניית כישורים

ברשימה הכנת הילדים ללימוד החשבון הזכרתי את נושא ההתמצאות במרחב והסברתי על חשיבותו ומשמעותו.

ברשימה השלבים ההכרחיים לפיתוח התפיסה המרחבית הסברתי כיצד נמחיש ונלמד את הילדים את הצדדים (ימין ושמאל) ואת השינויים וההבדלים בין ימין ושמאל שלי, לבין ימין ושמאל של הזולת, לבין ימין ושמאל של מי שעומד מולי כשפניו כלפי; וכן יישומים של היכולת להשתמש בימין ובשמאל בדמיון גם כשמסובבים בעיני רוחנו את עצמינו או את הזולת כדי לעמוד במקומו וכדי לתת הכוונה נכונה ומדויקת של הוראות הגעה למקום אחר.

ברשימה הזאת אשוב ואסביר את מהלך ההוראה של הצדדים ימין ושמאל אך ביתר פירוט. בניית כישורים של התמצאות במרחב היא תהליך הדרגתי שמחייב התנסות בשבעה שלבים (שאותם אפרט בסעיפים א'-ז'). התהליך המתואר מתפרש על פני כל שנת הלימודים.

א'.הכרת הצדדים האישיים של הגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו שנמצאים בצד ימין לעומת איברים בגופו שנמצאים בצד שמאל.

ההורה מפנה את פניו לאותו הכיוון שאליו מופנים פני הילדים, כלומר כשגבו לילדים.

הנחיות לתרגול: "הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל, קפלו ברך ימין, קפלו ברך שמאל, הרימו כתף ימין, הרימו כתף שמאל, געו באוזן ימין, געו באוזן שמאל, הצביעו על לחי ימין, הצביעו על לחי שמאל, הצביעו על עין ימין, הצביעו על עין שמאל, הצביעו על נחיר ימין, הצביעו על נחיר שמאל."

דגשים:

(!) ההורה אומר את ההוראה, ומבצע ביחד עם הילדים. אחרי שברור, אין צורך לבצע עמם, אך עדיין להישאר עם הגב כלפיהם בעת מתן ההוראות.

(!) יש ילדים שאינם עדיין שולטים בשמות של איברי הגוף. זאת הזדמנות לדרג את הפעילות ולתווך לילדים את שמות ואת מיקום איברי הגוף. אחרי שיש שליטה בשמות ובמיקומם של איברי הגוף חוזרים לעיסוק בהתמצאות במרחב.

(!) מתי נוח ללמד את איברי הגוף לקטנטנים? בעת ההלבשה וההתפשטות, כשמסתבנים במקלחת ובעת משחקים שבהם ההורה אומר שם של איבר בגוף שעל הילד לגעת בו. הכל בדרך של משחק ושל הנאה.

(!) אין דחיפות ואין לאן למהר. על הדברים להיטמע ולהיקלט וללא לחץ.

(!) הילדים מתבקשים לבצע את ההנחיות בזו אחר זו.

(!) חשוב להסביר לילדים שהאימון בהכרת הצדדים האישיים של הגוף חיוני ללימוד החשבון.

(!) כאשר הילדים מבצעים את האימון ללא טעויות אפשר להגביר את הקצב ואפילו להקשות מעט. למשל, "הניחו יד ימין על רגל שמאל, הניחו יד שמאל על כתף ימין" וכו'. תרגול שכזה חשוב לחציית קו האמצע שמחבר בין שני חלקי המוח.

סימטריה

הכרת הצדדים האישיים של הגוף מבוססת על הבנת המושגים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". ההורה יכול וצריך להשתמש במילים "סימטריה" ו-"ציר סימטריה". אין לחשוש משימוש במושגים ומהדגמתם ומהגדרתם. ילדים אינם חוששים, בניגוד לדעה הרווחת, ממושגים ואינם מסתבכים עמם -- ההפך הוא הנכון -- ילדים זקוקים להגדרה ולהדגמה. כאשר לכל רעיון יש שם ולכל מושג כינוי וכך לכל פעולה ולכל עצם, בונים שפה ותקשורת וניתן לחשוב על הדברים, לפעול עליהם במוחנו ולתקשר אותם לזולתנו. בהיעדר שמות התקשורת קשה, מעורפלת ואינה יעילה. לכן, אל חשש -- השתמשו במושגים הנכונים לתיאור הנושא והפעולות.

הילדים מצביעים על הנחיריים. אצבע ימין על נחיר ימין, אצבע שמאל על נחיר שמאל. הילדים מקרבים את אצבעותיהם, מעלים אותם בעודן צמודות עד מצחם ומורידים אותן עד הרצפה. כך הם "משרטטים" בעזרת שתי אצבעותיהם קו דמיוני לאורך גופם, שהוא ציר הסימטריה של הגוף.

הורה: "ציר הסימטריה הוא קו ישר שמחלק צורה לשתי צורות שוות, כך שמול כל חלק בצד האחד מתאים חלק זהה לו בצד השני של הציר."

(!) הורים שנבהלים מהמילים הגבוהות יכולים להירגע. המילה ציר מפחידה? אז לפני שמגיעים לשלב הזה מקיימים בהזדמנות שיחה עם הילד ובה מעלים את המילה "ציר". שואלים למשמעויותיה השונות, מסבירים מדגימים וכו'. למשל: יש ציר של דלת  וציר בחלון וציר סיבוב של כדור או של מטרייה מסתובבת וציר בפרלמנט וכו'. זאת הזדמנות להעשיר את השפה ולהדגים שבשפה שלנו יש מילים רבות שלהן יותר ממשמעות אחת. המשמעות נקבעת לפי ההקשר. באופן דומה כך גם במתמטיקה (להורים אני מזכיר למשל את סימן המינוס "-" שיש לו כמה תפקידים, גם לציון מספרים שליליים כמו 3- גם לציון הנגדי למספר וגם לסימון פעולת החיסור... וגם בתור פעולת חיסור יש בהקשרים שונים משמעות שונה לחיסור).

הגוף שלנו סימטרי לגבי ציר הסימטריה האנכי. כל סימטריה (מהסוג הזה של סימטריית מראה) מתקיימת רק אם קיים ציר סימטריה שמאפשר את ההתאמה בין שני צדי הציר.

ציר הסימטריה בגופנו

(!) המילה אנכי נראית גבוהה מידי? ראשית, ההסבר מהמשפט הקודם מיועד להורים ולא לילדים. אך מי שמעוניין להסביר זאת לילדים יכול. לפני שמשתמשים במילה אנך במשפט, צריך להגדיר ולהסביר מהו אנך ומה זה אנכי. רעיון הדירוג עובר כחוט השני בגישתנו -- אין צורך מהתחמקות או מהסתבכות -- כשקשה, מפשטים, מדגימים ומגדירים ומביאים את השיח לרמה של הילד. ורק אחרי שהבסיס ברור, אחרי שהמושגים שבהם משתמשים ברורים, רק אז ממשיכים. אין להשאיר חורים בהבנה.

(!) כשיש חשש מעודף מידע בבת אחת, לזכור שאיננו בתחרות ואין לנו חומר להספיק. מטרתנו לחנך וללמד את הילדים ולא "לסיים את החומר". אם קשה או נראה שעמוס, אז לחלק, לפשט, להסביר ולהדגים. אין בעיה להתעכב בעניין מסוים עד שחשים עמו בנוחות. 

(!) חשוב להקפיד שלא לדלג על שלבים.

ציר הסימטריה בגופנו

(!) כשמתעכבים בשלב מסוים ומוצאים את עצמינו חוזרים ומסבירים, להקפיד לגוון בדוגמאות ולא להתקבע על אותה הדוגמה -- דווקא מועיל להראות כמה דוגמאות שונות שבהן אותו העיקרון פועל ובא לידי ביטוי -- זה ימנע מהילדים קיבעון ואת הרושם המוטעה שמה שנאמר נכון רק בהקשר מסוים ובתנאי מסוים. הכללות שברורות לנו כבוגרים אינן בהכרח (ולפעמים בהכרח אינן) ברורות לילדים.

לאחר שהילדים יודעים לצייר על גופם בדמיונם את ציר הסימטריה, הם לומדים להכיר את הצד הימני ואת הצד השמאלי של גופם, על ידי תנועת מישוש של צידי גופם לאורך כל הגוף, עד שמגיעים אל רגל ימין ואל רגל שמאל.

ציור שכזה יכול להיות תלוי במקום נוח כשעושים את הפעילות (אפשר להציע לילדים לנסות את כוחם בעצמם לצייר את זה או לצבוע את אשר אתם שרטטתם).

תרגול שמלווה בתנועתיות ובזיהוי תופעות בסביבתו הקרובה של הילד: מציאת גופים סימטריים בסביבה.

לדוגמה: הורה שירצה להעמיק עם ילדו את העיסוק בסימטריה יכול לשלב במשחקים פעילויות של מציאת ציר הסימטריה של חפצים שונים: שולחן, ארון, ספר, וכו'. פעילויות אלה אינן שייכות בבלבדיות למתמטיקה והן מהוות תשתית לתחומים רבים כגון קריאה, כתיבה, התמצאות יומיומית בסביבה ועוד. יש לשלבן בפעילות השגרתית בהתנהלות בבית ובמשפחה.

ב'. הכרת הצדדים מחוץ לגוף: מיקום מרחבי של עצמים ביחס לגוף

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו. 

הנחיות לתרגול: "מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך". 

בתרגול עד לסוף שלב זה על ההורה לעמוד באותו הכיוון כמו הילד בעת מתן ההוראות (ולא לעמוד מול הילד בעת מתן ההוראות).

(!) תלמידים בכתה א' שמגיעים לשלב כתיבת ספרות עוד בטרם שולטים בשלב זה של הכרת הצדדים מחוץ לגוף, נתקלים בחלקם בקשיים ומתחילים בפתיחת פערים. לדוגמה, בעיות בכתיבת הספרות בכיוון הנכון ומאוחר יותר אפילו בלבול, למשל בין 23 לבין 32. -- אעסוק בהרחבה בכתיבה נכונה ברשימה אחרת.

ג'. הכרת הצדדים של הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות איברים בגופו של אדם אחר שעומד כשפניו אל מול פני הילד. אליו להבין שאיבריו שלו נמצאים בצד ימין שלו, לעומת אותם האיברים שנמצאים בצד שמאל של העומד מולו.

הילדים שמאומנים בזיהוי איברים שנמצאים משני צידי הגוף ובמיקום במרחב של עצמים מחוץ לגוף, בשלים לשלב ההיפוך של הצדדים, כשהזולת מולם. זוהי פריצת דרך מנטלית שמחייבת את ההבנה שצד ימין שלי, וצד שמאל שלי הפוכים מאלה של אדם אחר שעומד מולי.

(!) תלמידים בכתה א' שלא הגיעו לשלב זה ואינם שולטים עלולים להתקשות ולפתוח פערים כשתלמד פעולת החיסור שהפוכה לחיבור. בעוד שבחיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים ולקבל את אותה התוצאה בחיסור יש הבדל בתוצאה כאשר מחליפים בסדר שבין המחוסר לבין המחסר. ההכרה שהתוצאה שונה לא תספיק לחלק מהתלמידים הללו להבין, כי חסרה להם עדיין הבנה ושליטה בשלב בסיסי יותר של התמצאות במרחב.

הנחיות לתרגול: כאן כדאי לפעול עם מספר זוגי של ילדים. ההורה: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. הרימו יד ימין, הרימו יד שמאל, הטו ראש לימין, הטו ראש לשמאל, הרימו רגל ימין, הרימו רגל שמאל... מה ראיתם?" כאן יבחינו הילדים שבעומדם זה מול זה, פנים מול פנים, חל היפוך: לכל אחד יש ימין ושמאל וכשאנו עומדים זה מול זה, הצדדים הפוכים.

"עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות לילד המתרגל: הצבע על יד ימין של העומד מולך, הצבע על יד שמאל שלו, הצבע על עינו הימנית, על עינו השמאלית, הצבע על ברכו הימנית, ברכו השמאלית, ..., הצבע על פניו, הצבע על גבו."

ילדים עומדים אלה מול אלה ומבינים שהצד של זולתם הפוך משלהם. כדי שיוכלו להבין את ההיפוך, הם לומדים שקודם עליהם לזהות את הצדדים האישיים שלהם ואחר כך להפוך צדדים אלה במחשבתם. יכולת היפוך זו חשובה, בין היתר, גם לקליטת הספירה העולה והיורדת.

ד'. הכרת הצדדים מחוץ לגופו של הזולת: מיקום מרחבי של אובייקטים ביחס לגוף הזולת

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו של הזולת.

הנחיות לתרגול: "עמדו בזוגות פנים מול פנים. ילד אחד מתרגל, האחר עומד ללא תנועה (אחר כך מתחלפים בתפקידים). ההנחיות ניתנות למתרגל: "מה/מי נמצא לפניו של העומד מולך, מה/מי נמצא מאחוריו, מה/מי נמצא מימינו של העומד מולך, מה/מי נמצא משמאלו."

אימונים נוספים: צורות, עצמים ומערכות יחסים

• "ציירו פרח בצד ימין למטה של דף מנייר ובצד שמאל למעלה של הדף ציירו חיפושית." (אני מזכיר שיש הסכם שכשכותבים על נייר או כקוראים ממנו או כשמסתכלים עליו מוסכם שצד ימין של הדף הוא באותו צד ימין שלנו -- כל זאת אף על פי שאין לעצמים שאינם אנושיים או מואנשים צד)
• לילדים שמכירים צורות: "ציירו משולש בצד ימין למעלה ועיגול בצד שמאל למטה." וכך הלאה
• לילדים שמכירים ספרות: "רשמו את הספרה 1 על הדף מימין." "רשמו את הספרה 5 על הדף משמאל." "רשמו את הספרה 4 מימין למעלה." "רשמו את הספרה 6 על הדף משמאל למטה."
• אם יש לוח בנמצא אז ההורה עומד  בסמוך ללוח ושואל את הילד "באיזה צד שלי נמצא הלוח?" ואפשר לנסות ולהעמיד בני משפחה אחרים ולשאול "באיזה צד של ____ נמצא הלוח? הלוח נמצא מימין ל_____ ומשמאל ל______." זהו בסיס להבנת היחס, כי הלוח נמצא משמאלי ביחס אליי, ומימינו של ____ ביחס אליו.
• מאיזה צד של ______ נמצא החלון?
• מי יושב מימינך?
• איפה יד ימין של __________ שעומד ממולך?

ה'. תנועה במרחב: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה

בשעת תנועה משתנים היחסים במרחב בין האדם לבין הסביבה במהירות רבה.

המטרה: הילד יוכל לזהות בקלות מיקום מרחבי של עצמים מחוץ לגופו, תוך כדי תנועה.

הנחיות לתרגול: "צעד שני צעדים קדימה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. פנה לאחור: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך."

תרגול על ידי משחק: לאן הלך העכבר?

כל ילד מקבל דף משובץ שבו מצויר עכבר בנקודת המוצא (משבצות גדולות בגודל 8x8) וכן מספר מטרות: גבינה, לחם, חסה. המשחק מתבצע בזוגות. אחד מבני הזוג מצייר לעצמו מסלול (לפי בחירתו) על קווי המשבצות (מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות) ונותן לחברו (שבידו דף משובץ ללא המסלולים) הוראות מילוליות על מסלולו של העכבר מנקודת המוצא לכל אחת מהמטרות. 

למשל: מנקודת המוצא הלך העכבר שתי משבצות ימינה, אחר כל הלך קדימה שלוש משבצות וכו'.

החבר מצייר את המסלולים על הדף הריק שברשותו (כל מסלול בצבע שונה), לפי ההוראות שניתנות לו. כאשר מקבל ההוראות מגיע אל המטרה הוא מכריז למשל: "העכבר הגיע לגבינה." המסלולים נבדקים, הילדים מחליפים תפקידים.

ו. תנועה היפותטית: הכרת היחסים במרחב בשעת תנועה במחשבה בלבד

התרגילים בשלב הזה חשובים לפיתוח הדמיון ולהבנת מערכות יחסים מופשטות, כי הילד מבצע במחשבה בלבד את המעברים מהמצב שבו הוא מצוי במציאות המוחשית אל מצב שאינו נתפס בחושים, אלא רק במחשבה.

הנחיות לתרגול: "פנה בדמיונך ימינה: מה/מי לפניך, מה/מי מאחוריך, מה/מי מימינך, מה/מי משמאלך. אם תפנה שמאלה אז מה/מי יהיה מאחוריך? אם הדלת תהיה לפניך אז מה/מי יהיה מימינך...?"

לאחר שהילד מסוגל לזהות את היחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית שלו עצמו, נבקש ממנו להתאמן בזיהוי יחסים במרחב בשעת תנועה היפותטית של הזולת.

שאלות לתרגול:

• אם ___ יסתובב כך שהדלת תהיה מאחוריו, מה יהיה משמאלו?
• אם ___ תעמוד כשגבה אל החלון, מה יהיה לפניה? לימינה?
• אם ___ יעמוד כשפניו אל ארון המטבח, מה יהיה מאחוריו? מימינו? משמאלו?

ז. תנועה לאורך מסלול: הוראות ליציאה מהמרחב שבו אנו נמצאים, וחזרה אליו

בשלב זה הילד מתקדם בהתאם להוראות המכוונות אותו לצאת מן המרחב שבו הוא נמצא ולשוב אליו בחזרה. אפשר לנהל את ההתנסות הזאת כמשחק "חפשו את המטמון." 

המטרה: התמצאות במרחב בעזרת הוראות.

הנחיות לתרגול: כדאי לבצע פעילות זאת עם יותר מילד אחד. אחד הילדים מתנדב להיות "מחפש מטמון" וממתין בנפרד, למשל מחוץ לחדר. בחדר מוטמן "אוצר" (פרי, מדבקה צבעונית וכו'). המחפש חוזר לחדר ומתחיל לנוע בהתאם להוראות מילוליות שהוא מקבל מאחד הילדים שהיו שותפים להטמנת האוצר.

למשל: פנה ימינה, לך חמישה צעדים, פנה שמאלה, לך שבעה צעדים, הגעת לשולחן המורה וכו'. ההוראות אמורות להוביל את המחפש למציאת האוצר.

ההתנסות במתן הוראות המיועדות להוביל אדם בחזרה אל המרחב שממנו יצא, עלולה להיות קשה ומבלבלת.

בשלב זה נדרש הילד לצייר בעיני רוחו מסלול, ובעזרת הוראות מילוליות להחזיר את הזולת לנקודת המוצא שלו.

המטרה: פיתוח חשיבה מופשטת בעזרת שימוש בייצוג פנימי מרחבי.

הנחיות לתרגול: "אתה נמצא במטבח בגן. הסבר לעדו כיצד יוכל להגיע מן המטבח אל ארגז החול שבחצר הגן." או "אורח שנמצא בחצר שבגן הסמוך מתכוון להתארח גם בחצר הגן שלנו. הסבר לו כיצד יוכל להגיע ממקומו אל חצר הגן שלנו." וכו'.

משחק:

שלב א': אנחנו רוצים להגיע לביתך, תאר לנו את הדרך מהגן ועד לבית

שלב ב': הגענו לביתך. עכשיו עליך "להוביל" אותנו, במילים בלבד, משם בחזרה אל הגן

למתקדמים: משחק צוללות ברמות שונות. (אפשר להכין עם נייר משובץ וכלי כתיבה -- אין הכרח לרכוש משחק מוכן)

לסיכום

התרגולים שתוארו עד עתה משרתים את תהליך הלמידה בתחומים רבים ומגוונים ואינם משפיעים רק על לימוד מתמטיקה. לכן חשוב לשלב אותם בפעילויות שגרתיות בהזדמנויות שונות.

שימוש במילים כמו "ימין", "שמאל", "קדימה", "אחורה", "לפני", "אחרי", "למעלה/מעל", "למטה/מתחת", יעשה באופן קבוע. הדיוק השפתי בהגדרת המיקום המרחבי חיוני לפיתוח ייצוג פנימי מרחבי, לתגובה יעילה, לתקשורת בין אישית ברורה ולהבנה החשבונית.

רצוי מאוד להימנע מכינויים רומזים כמו "זה", "פה", "שם". כינויים אלה יוצרים ערפול מחשבתי, אינם ממוקדים ומהווים מלל שאין בו מידע רלוונטי לפיתוח חשיבה ויש בשימוש בהם נזק ארוך טווח להפשטה.

משפט כמו "הספר נמצא על ____ מימינו של  ____", מבסס את הייצוג הפנימי המרחבי, מספר מידע ממוקד ויוצר תקשורת בהירה בין הילד לסביבתו.

שלמה יונה

* הרשימה מבוססת על הדיון ועל ההנחיות של התמצאות במרחב מתוך המבוא לספר המורה של מתמטיקה יסודית לכתה א' שכתבה תלמה גביש